Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=xyz. Tìm min của P=\(\frac{x}{y^2}\)+ y/z^2+z/x^2+6(\(\frac{1}{xy}\)+1/yz+1/zx)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LM
13 tháng 5 2017
\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)
\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)
\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)
\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)
\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)
Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)
\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)
Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)
8 tháng 9 2017
Áp dụng bđt Svacsơ ta có :
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{x^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
ta lại có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)( bunhiacopxki )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=3\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\) có GTNN là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
25 tháng 4 2021
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
18 tháng 2 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
18 tháng 2 2020
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
PN
6 tháng 8 2020
Bài này thì AM-GM thôi
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
